Советский актёр. Народный артист РФ.
Родился в Москве в семье советского полярного лётчика, первого Героя Советского Союза — Анатолия Ляпидевского. Назван отцом в честь путешественника Роберта Пири.
Учился в Ленинградском нахимовском военно-морском училище. Получив среднее образование, пошёл работать на московский 30-й авиационный завод. Затем служил в армии, где начал заниматься художественной самодеятельностью.
В Театр Образцова попал случайно. Его друг работал музыкантом в оркестре этого театра, он и предложил Ляпидевскому пойти в театр. Он встретился с Зиновием Гердтом, который придал Роберту уверенности. С 1959 года служит в этом театре.
Является членом Попечительского совета Фонда ...